成年の兄が交通事故によって植物状態になってしまいました。 賠償請求をするにはどうすればいいですか？

この場合、通常は、家庭裁判所に対し、「後見開始の審判」を申立て、「成年後見人（代理人）」を選任してもらい、その後見人もしくは後見人から選任された弁護士等が、保険会社に対して損害賠償請求を行うことになります。

「後見開始の審判の申立」は、被害者の配偶者や4親等以内の親族（両親・祖父祖母・子供・孫・兄弟姉妹・甥姪・従妹等）であれば申立てができます。詳しいことは、裁判所Ｗｅｂサイト：後見開始に申立手続の説明や書式ダウンロード・申立書記載例等の案内があります。また、最寄りの家庭裁判所に電話すれば、一般的なことは教えてもらえますし、申立書などのひな形やパンフレットの備え付けもされています。