加害者への損害賠償請求の期限が迫っています。 どうすればいいでしょうか？

時効の更新とは、時効期間が進行しつつある状態を断ち切って、それまでの時効期間の経過をゼロにすることです。
時効の完成猶予とは、時効期間が進行を一時的に停止することです。更新と違い、それまでの時効期間の経過をゼロにすることはできません。
時効の更新や完成猶予の方法には、以下のような方法があります。

訴訟提起、支払督促の申立、和解の申立、調停の申立など裁判所を経由した相手方への請求は、その行為のみで時効の完成を阻止することができます。
ただし、訴えの却下や取下げが発生すると、裁判手続き終了から６ヶ月間の猶予期間を置いて時効の進行が再開しますので、注意が必要です。
相手方に電話や手紙などで「払ってくれ」と要求したとしても、それは、ここにいう「請求」にはならず、次に説明する「催告」になりますので、それだけでは時効の完成猶予の効果が生じるに過ぎず、更新の効力は生じません。

１で説明したとおり、裁判所を通さずに加害者または保険会社に対して「払ってくれ」と要求することを「催告」といいます。
催告をすると、催告のときから６ヶ月間は時効が完成しませんが、この期間内に１で説明したような裁判上の請求（調停申立、訴訟提起など）をしないと、時効は完成してしまいます。
一度催告をした後、６ヶ月以内に再び催告しても時効の完成猶予の効力は生じませんし、時効完成までの期間がさらに６ヶ月延長されることもありませんので、注意が必要です。

相手方に対し催告をしたこと証明するため、内容証明郵便（配達証明付き）で行うのが一般的です。

加害者または保険会社に対して債務の承認を求めます。加害者または保険会社が、損害賠償責任や保険金支払債務の存在を承認すれば、時効が更新されます。
また、通常、任意保険会社は、示談解決していない場合でも治療費を医療機関に支払います（ケースによっては、休業損害も被害者に支払うことがあります）。
これは、損害賠償責任や保険金支払債務を認めているからこそ支払いを行っていますので、同様に時効の更新事由となります。
このときは、最後の支払をしたときから新たに時効期間が進行しますので、最後の支払がいつかによって時効完成の時期が決まります。
また、示談案として任意保険会社が一定の支払額（損害額計算書等）を提示していれば、これも債務の承認となりますので、その提示したときから新たに時効期間は進行します。