友人の運転していた車で交通事故にあいました。治療費などを請求すると、友人に迷惑がかかりますか？

治療費や慰謝料は、友人が加入している「任意保険会社」から支払われます。
ご友人自身のお財布から支払われるわけではなく、また、あなたの請求で友人の来年の保険料がさらに上がることもありません（事故を起こして保険を使った時点で、等級への影響は決まっているためです）。

ぜひ、ケガを治すことを最優先に考えて行動なさってください。